ศึกษาโทโพโลยีของท่อร่วมที่แตกต่างและแผนที่ที่แตกต่างกัน

โทโพโลยีแบบดิฟเฟอเรนเชียลเป็นโทโพโลยีที่ศึกษาท่อร่วมที่แตกต่างและแผนที่ที่แตกต่างกัน ด้วยความก้าวหน้าของโทโพโลยีพีชคณิตและเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์จึงเกิดขึ้นอีกครั้งในช่วงทศวรรษที่ 1930 เอช. วิทนีย์ให้คำจำกัดความทั่วไปของท่อร่วมที่แตกต่างกันในปีพ. ศ. 2478 และพิสูจน์แล้วว่าสามารถฝังอยู่ในอวกาศยุคลิดมิติสูง เพื่อศึกษาฟิลด์เวกเตอร์บนท่อร่วมที่แตกต่างกันเขายังเสนอแนวคิดของการรวมกลุ่มเส้นใยเพื่อให้ปัญหาทางเรขาคณิตจำนวนมากเกี่ยวข้องกับ homology (ระดับบ่งชี้) และปัญหา homotopy

ในปีพ. ศ. 2496 ทฤษฎีการจัดระเบียบของ Rene Thom&# 39 ได้สร้างสถานการณ์ที่โทโพโลยีเชิงอนุพันธ์และโทโพโลยีเชิงพีชคณิตก้าวหน้าควบคู่กันไป ปัญหาโทโพโลยีเชิงอนุพันธ์ที่ยากจำนวนมากถูกเปลี่ยนเป็นปัญหาโทโพโลยีพีชคณิตและได้รับการแก้ไขซึ่งกระตุ้นโทโพโลยีเกี่ยวกับพีชคณิตด้วย การพัฒนาต่อไป. ในปีพ. ศ. 2499 มิลโนค้นพบว่านอกเหนือจากโครงสร้างที่แตกต่างตามปกติบนทรงกลมเจ็ดมิติแล้วยังมีโครงสร้างส่วนต่างที่ผิดปกติอีกด้วย ต่อจากนั้นท่อร่วมที่ไม่สามารถกำหนดโครงสร้างที่แตกต่างได้ถูกสร้างขึ้นโดยมนุษย์ สิ่งเหล่านี้ทั้งหมดแสดงให้เห็นว่าท่อร่วมโทโพโลยีสามประเภทท่อร่วมที่แตกต่างกันและท่อร่วมเชิงเส้นแบบทีละชิ้นระหว่างนั้นมีความแตกต่างอย่างมากโทโพโลยีเชิงอนุพันธ์ได้รับการยอมรับว่าเป็นสาขาโทโพโลยีอิสระ ในปีพ. ศ. 2503 Smail ได้พิสูจน์การคาดเดาของPoincaréสำหรับท่อร่วมที่แตกต่างกันที่มีมากกว่าห้ามิติ JW Milno และคณะ ได้พัฒนาวิธีการพื้นฐานในการจัดการกับท่อร่วมที่แตกต่างกัน──剜讓 so เพื่อให้การจำแนกประเภทของท่อร่วมที่มีมากกว่าห้ามิติค่อยๆกลายเป็นพีชคณิต

พื้นที่ที่โดดเด่นคือความสัมพันธ์ระหว่างท่อร่วมสามประเภทข้างต้นและการจำแนกประเภทของท่อร่วมสามมิติและสี่มิติ ความสำเร็จที่สำคัญในช่วงต้นทศวรรษ 1980 รวมถึงการพิสูจน์การคาดเดาPoincaréสี่มิติและการค้นพบโครงสร้างส่วนต่างที่ผิดปกติในอวกาศแบบยุคลิดสี่มิติ การวิจัยประเภทนี้โดยทั่วไปเรียกว่าโทโพโลยีทางเรขาคณิตเพื่อเน้นสีทางเรขาคณิตซึ่งแตกต่างจากทฤษฎีโฮโมโตปีพีชคณิต